MARCO TEORICO
Sistema métrico decimal
ANTECEDENTES
Orton (1.990) en su estudio sobre “La Didáctica de las matemáticas” afirma que la matemática debe ser para los niños una actividad constructiva y no netamente una actividad abstracta. Describe ciertos principios para el aprendizaje de la matemática, como el principio dinámico y constructivo donde propicia la construcción por el niño de su conocimiento de situaciones concretas que le permitan vivir experiencias relacionadas con la compresión de conceptos matemáticos y su aplicación.
En este orden de ideas Hernández (1.990) realizó un estudio sobre “La visión dinámica de los materiales didácticos en la resolución de problemas de matemática”, en el cual concluye que la forma creativa de elaboración de materiales didácticos invita a los estudiantes a conocer e interpretar procesos que se derivan del quehacer matemático; y a su vez la información se convierte en un medio para resolver problemas como proceso reconstructivo de una serie de conceptos, procedimientos y principios matemáticos asociados con el entorno.
Por otro lado Ruido (Op.cit) en su investigación hacia una enseñanza efectiva de la matemática en la Educación Básica “concluye que los problemas matemáticos que se plantean en la enseñanza deben tener como objetivo producir transformaciones en el alumno ya sea en el dominio de sus conocimientos, hábitos, habilidades y en su desarrollo intelectual.
Asimismo García (Op. cit) en su trabajo titulado “El juego como Método de la Enseñanza de la Matemática”, plantea el aprendizaje en forma de juegos pedagógicos; posee la ventaja de proporcionar placer y diversión, además, desarrollo la creatividad, competencia intelectual, fortaleza emocional y estabilidad, debido a que aunque posiblemente está experiencia sea exigente, no es amedrentadora, está libre de presiones irrelevantes y permite a quien participa, una interacción significativa dentro de su propio entorno; integrando así los conocimientos matemáticos a una realidad concreta, y agradable. No obstante el autor, también indica, que al utilizar los juegos pedagógicos y recursos didácticos como estrategia metodológica para la enseñanza de la matemática, estos deben ser debidamente clasificados de acuerdo a la función que han de cumplir.
Historias de la Unidades de Medidas
En relación con las unidades de medidas, desde la antigüedad, se han elegido estas unidades de medida completamente arbitraria. Varias de estas unidades han sido derivadas de eventos naturales y se ha tratado de que sea de fácil manejo y comprensión. En este sentido, los cuerpos celestes proporcionaron una manera sencilla de calcular el tiempo: el día era el tiempo que transcurría de amanecer a amanecer; el mes, era el tiempo que transcurría entre una cierta fase de la luna y su recurrencia; el año, el tiempo que toma el sol pasar a través de sucesivos cambios de una posición en el ciclo a la misma posición. Las distancias cortas eran medidas por el número de pasos que tomaba cubrir la distancia y las distancias largas eran medidas por el número de días de travesía. Tazones y tazas eran utilizados para medir la capacidad de recipientes. Granos de trigo y cebada eran utilizados para medir peso de objetos de valor. Por miles de años, el trueque fue el medio de cambio, y así no fue necesario usar unidades de monedas.
Ahora bien, mientras el hombre vivía en comunidades aisladas, casi no existía comercio ni industrias y por tanto no era tan necesario establecer unidades de medida. Sin embargo, cundo el hombre comenzó a trabajar en grupos, se incrementó el comercio entre ellos y esto indujo el establecimiento de unidades de medida que tuvieran el mismo significado para diversas comunidades.
Al principio se establecían unidades para regiones de un mismo país; luego para un país entero y por último, para grupos de países. Se piensa que los romanos fueron los primeros en establecer unidades de medidas ampliamente aceptables. Sin embargo, con la caída del Imperio Romano, estas unidades fueron desechadas. Es importante destacar que el sistema métrico establecido a finales del siglo XVIII, en Francia, es utilizado casi mundialmente en ciencias e ingeniería; solo en algunos países de habla inglesa no lo utilizan para comercio.
A continuación algunas unidades de medida y la costumbre de utilizar el cuerpo humano como base para elegirlas.
Una de las primeras unidades de medidas de longitud fue el cubito, que fue definido como la longitud del antebrazo desde el codo hasta el extremo del dedo medio. El cubito fue utilizado por los babilonios y los egipcios, aproximadamente 2600 años antes de Cristo. El Arca de Noé, según la Biblia, fue construido con las siguientes dimensiones: 300 cubitos de longitud, 50 cubitos de ancho y 30 cubitos de alto.
Otra unidad de medida, el pie, fue utilizado por los griegos y romanos. Fue definido como 2/3 de un cubito y llega a Inglaterra al ser ésta conquistada por los romanos.
El pie fue subdividido por los griegos en doce partes; cada parte al ancho de la uña del pulgar. Cada parte fue llamada por los romanos unicae y mas tarde llamada por los anglosajones pulgadas. Ya que los hombres no tienen el dedo pulgar de igual ancho, el rey Eduardo II, en el siglo XIV, define la pulgada como la longitud de tres granos de maíz tomados del centro de una mazorca
Otra unidad de medida, la yarda, fue creada por los comerciantes de ropa ingleses. Al principio fue definida como la distancia del centro del pecho al extremo de los dedos de un brazo extendido (mitad de una “brazada”). El rey Enrique I, quien gobernó a Inglaterra en 1100, define la yarda legal como la distancia del extremo de su nariz al extremo del dedo pulgar de su brazo extendido.
Para medir pesos, los babilonios usaban piedras seleccionadas y conservadas para ese propósito. Los egipcios y los griegos usaban semillas de trigo como la menor unidad de peso. La uniformidad de peso de las semillas de trigo hizo de este grano una buena unidad de medida. Esto induce a que mas tarde se definiera la libra como 7.000 granos de trigo.
Los ejemplos anteriores nos ayudan a ver como las unidades de medidas son originadas en forma arbitraria. Pero, es bueno aclarar que muchas de esas unidades de medida son utilizadas hoy día, a pesar de que ellas han sido reemplazadas por unidades de medidas mas precisas.
De allí, entonces la importancia de dichas unidades de medidas en las actividades que realiza el hombre en una sociedad.
Sistema métrico Decimal
Las unidades básicas del sistema métrico decimal son: el metro para longitud, el gramo para peso y el litro para capacidad.
Las Unidades de la longitud: sirven para medir la distancia existente entre dos puntos.
Estas son: Kilómetro (Km.), Hectómetro (hm.), Decámetro (dam.), metro (m), Decímetro (dm.), centímetro (cm.) y milímetro (mm).
Las Unidades de Peso: sirven para medir el valor de la gravedad para un cuerpo determinado.
Entre estas tienen: Kilogramo (Kg.), Hectogramo (hg.), decagramo (dag), gramo (gr.), decigramo (dg.), centigramo (cg.) y miligramo (mg).
Las Unidades de capacidad: son aquellas que sirven para medir la cantidad de un contenido líquido.
Entre estas se tiene: Kilolitro (kl), hectolitro (hl), decalitro (dal), litro (l), decilitro (dl), centilitro (cl) y mililitro (ml).
Por otra parte, cada unidad de cada propiedad o cualidad de los objetivos (longitud, peso y capacidad) serán definidas de acuerdo al sistema decimal de numeración. Para nombrar las unidades mayores que la unidad básica se utilizan los siguientes prefijos de origen griego:
Kilo: significa mil 1000
Hecto: significa cien 100
Deca: significa diez 10
Para nombrar las unidades menores que la unidad básica, se utilizan los siguientes prefijos de origen latino:
Deci: significa décima 0,1
Centi: significa centésima 0,01
Mili: significa milésima 0,001
Las unidades mayores que la unidad básica se denominan múltiplos y las menores, submúltiplos.
Colocando los prefijos antes mencionados, en un cartel de posición según sus significados y las unidades básicas (metro, gramo y litro) en el lugar de las unidades, obtenemos los carteles del sistema métrico decimal:
Observa que el cartel sólo se cambia el nombre de la unidad básica.
Con ayuda del cartel se forma los nombres y equivalencias de los múltiplos y submúltiplos de cada unidad básica con sus respectivo símbolo:
Metro: kilómetro (Km.) = 1000m
Gramo: kilogramo (Kg.) = 1000g
Litro: kilolitro (Kl.) = 1000l
Metro: hectómetro (hm.) = 100 m
Gramo: hectogramo (hg) = 100 g
Litro: hectolitro (hl) = 100 l
Metro: decámetro (dam) = 10 m
Gramo: decagramo (dag) = 10 g
Litro: decalitro (dal) = 10 l
Metro: decímetro (dm) = 0,1 m
Gramo: decigramo (dg) = 0,1 g
Litro: decilitro (dl) = 0,1 l
Metro: centímetro (cm) = 0,01 m
Gramo: centigramo (cg) = 0,01 g
Litro: centilitro (cl) = 0,01 l
Metro: milímetro (mm) = 0,001 m
Gramo: miligramo (mg) = 0,001 g
Litro: mililitro (ml) = 0,001 l
Tomando en cuenta que en el sistema decimal, el valor de cada posición es diez veces mayor que el valor de la posición derecha inmediata, se tiene:
1 kilómetro = 10 hectómetros
1 hectómetro = 10 decámetros
1 decámetro = 10 metros
1 metro = 10 decímetros
1 decímetro = 10 centímetros
1 centímetro = 10 milímetros
Igual relación existe entre las unidades de peso y capacidad.
La conversión de unidades en el sistema métrico: se basa en la multiplicación y división por la unidad seguida de ceros (potencias de diez) que consiste en “correr” la coma a derecha o izquierda, según se multiplique o divida, tantos lugares como ceros sigan a la unidad. Multiplicamos si no movemos en el cartel de posición en sentido decreciente, es decir, de una unidad mayor a otra menor. Dividimos si nos movemos en sentido creciente, es decir, de una unidad menor a otra mayor. El número de ceros que siguen a la unidad es dado por el número de posiciones que hay que pasar desde la unidad dada a la unidad pedida.
Ejemplo:
Convertir 75 m a cm.
Veamos el cartel de posición:
Dos metros a centímetros nos movemos en sentido decreciente, luego, multiplicamos por la unidad seguida de dos ceros porque hay dos “pasos” de m a cm, así:
75 m = 75 . 100 cm
= 7500 cm
En síntesis las Unidades del Sistema Métrico Decimal en cuanto a longitud, peso y capacidad son:
Así mismo, es importante recalcar que el docente debe enfatizar y evidenciar a sus alumnos la práctica de dicha teoría conceptual del sistema métrico; para optima asimilación por parte de ellos del contenido, en relación con aspectos, objetivos y experiencias cotidianas permitiendo así la integración de dicho conocimiento matemático.
Historia de la medida
Desde la antigüedad medir es una necesidad vital para el hombre.
La medida surge debido a la necesidad de informar a los demás de las actividades de caza y recolección, como por ejemplo: a que distancia estaba la presa, que tiempo transcurría para la recolección; hasta donde marcaban los límites de la población.
En último lugar surgieron los sistemas de medidas, en las poblaciones con las actividades del mercado.
Todos los sistemas de medidas de longitud derivaron de las dimensiones del cuerpo humano (codo, pie...), de sus acciones y de las acciones de los animales.
Otros sistemas como los del tiempo también derivaron del ser humano y más concretamente de los fenómenos cíclicos que afectaban a la vida del hombre.
Los sistemas de medidas concretos, tales como las de longitud, superficie, tuvieron una evolución muy distinta. Los de longitud derivaron de las dimensiones que se recorrían. Sin embargo en las medidas de capacidad hubo un doble sistema según fuera para medir líquido o sólido, y los nombres de ambos sistemas derivaron de los recipientes en los que eran contenidos o de sus divisores.
Por otro lado en las medidas superficiales y agrarias, existió un triple sistema:
- Expresaba el largo y el ancho utilizando medidas de longitud. Este sistema se utilizó para superficies pequeñas.
- Expresaba la superficie mediante el tiempo que era necesario para trabajarla, utilizado para medidas agrarias.
- Expresaba la superficie basándose en la cantidad de grano que era necesario para sembrar la tierra.
El progreso
El progreso de todos los sistemas de medida tuvo que ver con dos factores:
- El grado de intercambio de productos entre distintos grupos humanos.
- El desarrollo de los sistemas de escritura y de numeración, y en general, de las distintas ciencias.
Números romanos
Los símbolos romanos
Los romanos usaban un método especial para escribir números, basado en estos símbolos:
Los números más grandes que 1,000 se forman poniendo una línea sobre el símbolo, eso significa "por 1,000", pero no se usan mucho:
Combinaciones básicas
Formar números - Las reglas
Cuando un símbolo aparece después de uno más grande se suma
- Ejemplo: VI = V + I = 5 + 1 = 6
Cuando un símbolo aparece antes de uno más grande se resta
- Ejemplo: IX = X - I = 10 - 1 = 9
No se usa el mismo símbolo más de tres veces seguidas.
Numeración romana
El sistema de numeración romana se desarrolló en la antigua Roma y se utilizó en todo su imperio. Es un sistema de numeración no posicional, en el que se usan algunas letras mayúsculas como símbolos para representar los números.
La siguiente tabla muestra los símbolos válidos en el sistema de numeración romano, y sus equivalencias en el sistema decimal:
Romano | Decimal | Nota |
I | 1 | Unus |
V | 5 | Quinque. V es la mitad superior de X; en etrusco Λ. |
X | 10 | Decem |
L | 50 | Quinquaginta |
C | 100 | Letra inicial de Centum. |
D | 500 | |
M | 1.000 |
Los múltiples símbolos pueden ser combinados para producir cantidades entre estos valores, siguiendo ciertas reglas en la repetición. En los casos en que sea más pequeño, se permite a veces colocar un valor menor (sustrayendo), el símbolo con un valor menor colocado antes que un valor más alto, de manera que, por ejemplo, se puede escribir IV o iv para cuatro, en lugar de IIII. Así, tenemos que los números no asignados a un símbolo se crean haciendo combinaciones como las siguientes:
Romano mayúsculas | Romano minúsculas | Nominación |
II | ii | dos |
III | iii | tres |
IV | iv | cuatro |
VI | vi | seis |
VII | vii | siete |
VIII | viii | ocho |
IX | ix | nueve |
XXXII | xxxii | treinta y dos |
XLV | xlv | cuarenta y cinco |
Para números con valor igual o superior a 4.000, se coloca una línea horizontal por encima del número, para indicar que la base de la multiplicación es por 1.000:
Romano (miles) | Decimal | Nominación |
V | 5.000 | cinco mil |
X | 10.000 | diez mil |
L | 50.000 | cincuenta mil |
C | 100.000 | cien mil |
D | 500.000 | quinientos mil |
M | 1.000.000 | un millón |
No existe formato para números con un valor de mayor envergadura, por lo que a veces se utiliza una doble barra o una barra de subrayado para indicar que la multiplicación se realiza por un millón. Como ejemplo, para mostrar un valor de diez millones se haría lo siguiente: (X)
Como sistema de numeración , el inventario de signos es y el conjunto de reglas podría especificarse como:
§ Como regla general, los símbolos se escriben y leen de izquierda a derecha, de mayor a menor valor.
§ El valor de un número se obtiene sumando los valores de los símbolos que lo componen, salvo en la siguiente excepción.
§ Si un símbolo de tipo 1 está a la izquierda inmediata de otro de mayor valor, se resta al valor del segundo el valor del primero. Ej. IV=4, IX=9.
§ Los símbolos de tipo 5 siempre suman y no pueden estar a la izquierda de uno de mayor valor.
§ Se permiten a lo sumo tres repeticiones consecutivas del mismo símbolo de tipo 1.
§ No se permite la repetición de una misma letra de tipo 5, su duplicado es una letra de tipo 10.
§ Si un símbolo de tipo 1 aparece restando, sólo puede aparecer a su derecha un sólo símbolo de mayor valor.
§ Si un símbolo de tipo 1 que aparece restando se repite, sólo se permite que su repetición esté colocada a su derecha y que no sea adyacente al símbolo que resta.
§ Sólo se admite la resta de un símbolo de tipo 1 sobre el inmediato mayor de tipo 1 o de tipo 5. Ejemplos:
- el símbolo I sólo puede restar a V y a X.
- el símbolo X sólo resta a L y a C.
- el símbolo C sólo resta a D y a M.
§ Se permite que dos símbolos distintos aparezcan restando si no son adyacentes.
No siempre se respetan estas reglas. En algunas inscripciones, o en relojes, aparece IIII en lugar de IV para indicar el valor 4.
A continuación aparecen algunos ejemplos de números no-válidos en el sistema de numeración romano, y la regla que incumplen.
Errónea | Correcta | Valor | Motivo |
VL | XLV | 45 | Letra de tipo 5 restando |
IIII | IV | 4 | Más de tres repeticiones de letra tipo 1 |
VIV | IX | 9 | Repetición de letra de tipo 5 |
CMM | MCM | 1.900 | Letra tipo 1 a la izquierda de dos de mayor valor |
IXVI | XV | 15 | Letra tipo 1 a la izquierda de dos de mayor valor |
IVI | V | 5 | Letra restando y su repetición adyacente al símbolo que resta |
XXL | XXX | 30 | Letra tipo 1 restando y repetida a su izquierda |
IC | XCIX | 99 | Letra I restando a C |
IM | CMXCIX | 999 | Letra I restando a M |
IXL | XLI | 41 | Letras I y X adyacentes y restando |
XIL | XXXIX | 39 | Letras I y X adyacentes y restando |
CXVI + XXIV = 140
Paso | Descripción | Ejemplo |
1 | Eliminar la notación substractiva | IV → IIII |
2 | Concatenar los términos | CXVI + XXIIII → CXVIXXIIII |
3 | Ordenar los numerales de mayor a menor | CXVIXXIIII → CXXXVIIIII |
4 | Simplificar el resultado reduciendo símbolos | IIIII → V; VV → X; CXXXVIIIII → CXXXX |
5 | Añadir notación substractiva | XXXX → XL |
6 | Solución | CXL |
Solución: CXVI + XXIV = CXL
El primer paso decodifica los datos posicionales en una notación única, lo que facilita la tarea aritmética. Con ello, el segundo paso, al tener una notación únicamente aditiva puede entrar en funcionamiento. Tras eso, es necesaria una reordenación, pues los dos sumandos mantienen sus ordenaciones respectivas, lo que no es problema al no estar presente anotación substractiva. Una vez reordenados los símbolos, se agrupan los símbolos y se introduce de nuevo la notación substractiva, aplicando las reglas de numeración romana.
Resta
CXVI − XXIV = 92
Paso | Descripción | Ejemplo |
1 | Eliminar la notación substractiva | IV → IIII |
2 | Eliminar los numerales comunes entre los términos | CXVI − XXIIII → CV − XIII |
3 | Expandir los numerales del primer término hasta que aparezcan elementos del segundo. | CV − XIII → LLIIIII − XIII → LXXXXXIIIII − XIII |
4 | Repetir los pasos 2 y 3 hasta que el segundo término quede vacío | LXXXXXIIIII − XIII → LXXXXII |
5 | Añadir notación substractiva | LXXXXII → XCII |
6 | Solución | XCII |
Solución: CXVI − XXIV = XCII
Alfabeto griego
nombre | minúscula | mayúscula | en griego | latín | sonido |
alfa | ð | ð | ðððð | a | / a / |
beta | ð | ð | ðððð | b | / b / |
gamma | γ | ð | γðððð | g | / ga, gue /... |
delta | δ | ð | δðððð | d | / d / |
epsilón | ð | ð | ðððððð | e | / e / breve |
dseta | ð | ð | ðððð | z | / ds, z / (za, ce, ci. zo, zu ). |
eta | ð | ð | ððð | e | / e / larga |
zeta | ð ð ð | ð | ðððð | th | /za, ce, ci, zo, zu/ |
iota | ð | ð | ðððð | i | / i / |
cappa | ð | ð | ððððð | c , k | / k / |
lambda | ð | ð | ððððδð | l | / l / |
my | ð | ð | ðð | m | / m / |
ny | ð | ð | ðð | n | / n / |
xi | ð | ð | ðð | x | / ks / |
omicrón | ð | ð | ððððρðð | o | / o / breve |
pi | ð | ð | ðð | p | / p / |
rho | ρ | ð | ρð | r | / r / |
sigma | σ ð S | ð | σðγðð | s | / s / |
tau | ð | ð | ððð | t | / t / |
ypsilón | ð | ð | ðððððð | y | / u /(fr.)- ü (alem.) |
fi | ð ð | ð | ðð | ph | / f / |
ji | ð | ð | ðð | ch | / j / |
psi | ð | ð | ð | ps | / (p)s / |
omega | ð | ð | ð | o | / o / larga |
nombre | minúscula | mayúscula | en griego | latín | sonido |
El origen semítico del alfabeto griego no presenta problema alguno. La misma tradición de los griegos al llamar a su escritura phoinikeia grammata o semeia, o sea, "escritura fenicia", señala claramente donde debe buscarse el origen del sistema. Además, incluso una investigación superficial de las formas, los nombres y el orden de los signos griegos lleva inmediatamente a la conclusión de que todas estas características han sido tomadas del sistema semítico de escritura. Incluso un profano no puede dejar de observar la identidad o gran similitud de forma entre los signos del alfabeto griego y los de las escrituras semíticas.
Mientras los nombres de los signos del alfabeto griego no pueden explicarse con la ayuda de la lengua griega, se corresponden casi exactamente a los de las diferentes escrituras semíticas. Así, los alpha, beta, gamma, delta,etc., griegos corresponden a los aleph, beth, gimel, daleth, etc., semíticos, con los significados respectivos de"buey", "casa", "camello" y "puerta". De las lenguas semíticas de las que, en teoría, podrían derivarse los nombres de los signos griegos, debe preferirse sin duda el fenicio y el hebreo. Puede observarse, por ejemplo, que el alpha griego se deriva de aleph, "buey", palabra que existe en fenicio y en hebreo, pero no en arameo, así como que iota, pi, rho griegos se encuentran más cerca de las respectivas palabras fenicias o hebreas, yodh"mano", pe "boca" y ros "cabeza" que de yad, pum y res arameos.
Como no hay duda de que los griegos tomaron su escritura de los semitas, el problema consiste en determinar de qué sistema semítico se derivó la escritura griega. En teoría, cualquiera de las escrituras usadas por los pueblos semíticos establecidos en las amplias regiones que se extienden del sur de Cilicia al norte de Sinaí pudo ser el modelo de los griegos. Estas tierras estaban habitadas por los amorreos, arameos y cananeos, incluyendo a los fenicios.
Sin embargo, nuestra investigación debe limitarse a los fenicios, los navegantes de la antigüedad, únicos semitas que se atrevieron a desafiar al gran Mar en busca de nuevos horizontes. Los griegos no fueron a la costa de Asia a pedir prestado el sistema semítico; las escrituras nunca pasan de un pueblo a otro de esta forma. Fueron los fenicios, que poseían colonias comerciales por todo el mundo griego, los que llevaron su escritura a los griegos. El origen fenicio está confirmado no sólo por la tradición griega, sino también, como hemos visto, por los resultados de la comparación de los nombres de los signos en los sistemas griego y semítico.
La dirección de los signos en la escritura varía considerablemente en las inscripciones griegas más antiguas, ya que se dirigen tanto de derecha a izquierda, como de izquierda a derecha, continuando en estilo bustrófedon, cambiando de dirección alternativamente en cada línea. Sólo poco a poco se fue imponiendo en el sistema griego el método clásico de escribir de izquierda a derecha.
Metodología
Esta carpeta fue elaborada por los integrantes de la mesa numero 4.
Los trabajos aquí presentados son investigaciones de todos los temas vistos en
Clase.
Los trabajos fueron hechos en base a los temas:
- Sistema internacional de unidades
- Sistema de internacional de medidas
- Números romanos
- Alfabeto griego
- Metro
- Entre otros
Estos se encuentran ordenados y clasificados para un mejor entendimiento y para facilitar un mejor entendimiento para facilitar su localización
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